구조해조

프로젝트 개요

기술개발 과제

국문 : 위상 최적화 기법을 이용한 트러스교 설계

영문 : Truss bridge design using topology optimization technique

과제 팀명

구조해조

지도교수

김선중 교수님

개발기간

2024년 3월 ~ 2024년 6월 (총 4개월)

구성원 소개

서울시립대학교 토목공학과 2021****** 이**(팀장)

서울시립대학교 토목공학과 2017****** 송**

서울시립대학교 토목공학과 2019****** 고**

서울시립대학교 토목공학과 2021****** 손**

서울시립대학교 토목공학과 2021****** 윤**

서론

개발 과제의 개요

개발 과제 요약

◇ 교량 붕괴 시의 상황을 가정하여 신속한 재시공을 목표로 한다. 본 프로젝트에서 선정한 교량은 강원도 동해시에 위치한 전천과선교로, 위상 최적화 분석을 통해 최적 형상을 추출하고 Visual FEA 프로그램을 통해 안정성과 사용성을 검토하여 실제 설계에 준하는 교량 설계를 진행한다.

◇ 실제 교량에 적용되는 하중인 콘크리트 및 강재의 자중, 표준트럭하중, 표준차로하중, 풍하중, 지진하중을 도로교 설계기준에 따라 하중을 조합·재하하여 Matlab을 이용한 위상 최적화를 통해 최적 트러스교 형상을 결정한다. 교량의 안정성과 사용성을 검토하기 위해 교량에 가해지는 집중하중 및 등분포하중을 각 트러스 부재 절점에 작용하는 절점하중으로 변환하여 Visual FEA 프로그램에 적용해 처짐과 부재력을 확인한다.

개발 과제의 배경

◇ 일반적으로 구조설계 시 내적 안전성과 외적 안정성의 충족을 목적으로 하는데, 전통적인 초기 설계 방식은 능숙한 숙련자의 경험과 직관에 의하더라도 한 번에 모든 조건을 만족하는 경우는 드물다. 여러 번의 변경 및 성능 확인 절차를 거쳐야 하며, 설계조건을 만족하더라도 너무 높은 안전율로 인해 비경제적인 설계가 되는 경우도 허다하다. 

◇ 분당 정자교 붕괴로 인해 부실시공 교량들에 대한 재시공이 요구되며, 교량 설계 시간 단축의 중요성이 대두되었다. 전통적 설계 방식의 한계를 극복하기 위해 설계 제약조건 만족만을 목표로 하는 것이 아닌 안전성과 사용성을 모두 고려한 설계 방식인 위상 최적화 개념을 도입해 급속 디자인을 하고자 한다.

개발 과제의 목표 및 내용

[연구 목표]

전천과선교 붕괴 시 상황을 가정하여 설계 과정의 간소화를 목표로 한다. 따라서 위상 최적화 프로그램을 통해 설계에 사용된 대표적인 하중들을 실제 설계기준에 따라 조합하고 대입하여 여러 트러스교 형식의 교량을 모델링하고 적절한 형상들을 추출한다. 추출된 각각의 형상들은 Visual FEA 프로그램을 이용해 부재력과 처짐을 검토한 후, 최종적으로 새로운 형상의 전천과선교를 제작한다.

[연구 내용]

1. 실제 교량 설계 시 사용하는 하중들의 크기들을 조사하고 계산한다.

2. Matlab을 이용한 IUPUI 3D topology 프로그램에 계산한 수치를 대입하여 트러스교 형상들을 추출한다.

3. 하중을 안정적으로 지지하기 어려울 것으로 판단되는 형상이 나온 경우, 임의로 부재를 추가하는 것이 필요함을 설명하는 논문 ‘Design of a Truss Bridge for Low Cost using Structural Topology Optimisation(Wayne Sutcliffe 저)’을 바탕으로 최적의 보완 형상을 조사하여 부재를 추가한 최종적 형상들을 결정한다.

4. 추출된 형상의 안정성과 사용성을 검토하기 위해 Visual FEA를 통해 각 트러스 부재의 부재력과 처짐, 처짐 형상을 구하고 비교 분석하여 최종 교량 형상을 선택한다.

관련 기술의 현황

관련 기술의 현황 및 분석(State of art)

• 관련 기술 현황

◇ Sigmund, O. (2001). A 99 Line Topology Optimization Code Written in MATLAB. Structural and Multidisciplinary Optimization 21, 120-12
 구조물의 최적화를 위해 사용될 수 있는 코드를 제시하며, 사용자가 다양한 확장 작업을 할 수 있도록 하는 99줄의 Matlab 코드를 제시한다. 최적화 문제의 정의와 논의, Matlab 구현에 대한 설명, 이에 대한 확장에 대한 논의와 결론으로 구성되어 있다. 프로그래밍을 통한 위상 최적화의 기초가 되는 Bendsøe와 Kikuchi의 논문에서는 미세 구조 또는 균질화 기반 접근 방식이 사용되었으나, 이러한 방법은 최적의 미세 구조 및 방향을 결정하고 평가하기 어려우며, 미세 구조에 정확한 길이 규모가 없으므로 구조를 구현할 수 없다는 문제점이 있다. 논문에서는 이에 대한 대안으로 "power-law approach" 또는 SIMP 접근 방식을 사용하는데, 각 요소 내에서 재료 특성이 일정하다고 가정하고, 요소 상대 밀도를 변수로 사용한다. 이 접근 방식을 이용할 때는 최적의 해결 방안을 찾기 위해 주변 제약, 그래디언트 제약 또는 필터링 기술과 결합해 사용되어야 한다.

◇ Sutcliffe, W. (2016). Design of a truss bridge for low cost using structural topology optimisation.
 강철 트러스 교량의 비용을 절감을 시행한다. STO(Structural topology optimisation)가 실제 설계 문제에서 비용을 절감하는 데 얼마나 효과적인지 파악하고 이를 통해 STO가 설계 도구로 얼마나 실용적인지 측정하는 데 중점을 둔다. STO는 구조 최적화의 가장 일반적인 형태이며 엄격한 컴퓨팅 방법을 사용하여 구조의 최적 형상을 결정한다. 본 논문의 트러스는 46m 경간을 가진 산업 플랜트를 위한 단순 지지 강철 트러스이다. 88라인 MATLAB 프로그램을 통해 개념 설계에 STO를 적용하여 다양한 최적화된 형상이 생성되었다. STO 절차에서는 이러한 유형의 교량에 가장 적합한 형태로 Warren 트러스를 선호하는 것으로 나타났다. 트러스교는 부재 크기를 결정하고 BOM을 추출하며 다양한 형상에 대해 실시간 프로젝트 비용을 적용하도록 설계되었다. 이러한 큰 감소는 설계의 여러 매개변수를 함께 최적화함으로써 복합적인 효과를 나타내는 것으로 나타났다.

◇ Liu, K., & Tovar, A. (2014). An efficient 3D topology optimization code written in Matlab. Structural and Multidisciplinary Optimization, 50(6), 1175-1196.
 3차원 위상 최적화 문제를 해결하기 위한 간편하고 효율적인 MATLAB 코드를 제시한다. 이 코드에는 유한 요소 분석, 민감도 분석, 밀도 필터, 최적성 기준 최적화 및 결과 표시가 포함된다. 또한, 지지점과 외부 하중을 쉽게 수정할 수 있는 방식을 제시하고, 이론적 및 수치적 요소뿐만 아니라 여러 하중 종류, 능동 및 수동 요소, 연속 전략, 호환 메커니즘의 합성, 열전도 문제를 정의할 수 있다. 또한, 최적화 이론과 방법론을 요약하고, 3차원 유한 요소 분석 및 구현 방법을 설명한다. 최소 처짐, 유연한 메커니즘, 열전도 등의 세 가지 위상 최적화 문제를 제시하고, 코드에서의 최적화 방법과 구현 방법을 논의하여 확장된 결과와 top 3D 코드를 제시한다.

시장상황에 대한 분석

• 경쟁제품 조사 비교

◇ ‘위상 최적화와 Cellular Automata 모델을 이용한 대공간 트러스 구조물의 최적 형태 설계 기술’에서 위상 최적화는 트러스 구조물의 초기형태를 생성하는 역할을 하고, Cellular Automata 모델은 규칙에 의해 구조패턴을 생성하고 위상 최적화 기법으로 만들어진 초기트러스 구조물을 구조패턴에 따라 확장하여 전체 구조물을 형성하는 역할을 한다. 또한 크기 최적화는 전체 구조물의 형태를 대상으로 구속조건을 만족하면서 중량이 최소가 되는 최적 형태를 설계하는 것을 목적으로 한다.

◇ ‘위상·형상최적화 기법을 사용한 FRP 교량 바닥판의 설계’에서 FRP(섬유 강화 복합재료)를 교량의 바닥판으로 설계하기 위하여 위상 최적화와 형상 최적화 기법을 사용하여 이론적 최적 단면을 제안하였다. 먼저 위상 최적화를 통하여 바닥판의 최적 단면 모양을 찾아내었다. 그 결과, 단순보에서 중앙 집중하중의 경우 가장 이상적인 구조는 트러스 형태의 골조구조임을 알 수 있었다. 또한 수평부재와 경사 부재가 만나는 절점에서 보강재를 볼 수 있었고, 이는 기존 상업용 FRP 바닥판에 적용되지 않았기 때문에 새로운 설계 변수로 사용하였다. 두 번째로 유전자 알고리즘을 이용한 형상 최적화를 통하여 위상 최적화 결과의 최적 규격을 찾고자 하였다. 기존 상용제품들과 비교를 위하여 바닥판의 높이를 제한하여 최적화를 수행하였다.

◇ MATLAB에서의 IUPUI 3D topology 최적화 코드는 특정한 문제에 대한 경계 조건을 지정하고, 해당 조건에 최적의 topology를 찾는 최적화 과정을 실행한다. 3D 공간에서 하중이 가해지는 위치와 크기를 설정하고, 경계 조건으로 고정되는 DOF를 설정하고, 특정 경계 조건에 대한 대칭 설정을 변수로 입력한다. topology를 빠르고 간편하게 최적화할 수 있어 이 프로그램을 선정하였다. 변수 입력과 변인 통제 과정에 약 2,500줄의 매트랩 코드 해석이 포함된다.

개발과제의 기대효과

기술적 기대효과

◇ 재료 효율성 극대화: 위상 최적화는 설계 영역 내에서 재료를 효율적으로 배치하여, 필요 없는 부분의 재료를 제거하고 필요한 부분에 더 많은 재료를 배치한다. 이를 통해 최소한의 재료로 최대 효율의 구조적 성능을 달성할 수 있다. 또한, 최소한의 재료를 이용함으로써 비용 절감과 함께 구조의 경량화를 실현할 수 있다.

경제적, 사회적 기대 및 파급효과

◇ 위상 최적화는 재료의 효율적인 배치를 통해 사용되는 재료의 양을 줄임으로써 건설 비용을 절감한다​​. 또한, 최적화된 설계를 통해 설계 과정에서의 시간과 비용을 절감한다. 이는 특히 교량 설계와 같은 대규모 설계 프로젝트에서 더 큰 경제적 이익을 제공한다​​. ‘Design of a truss bridge for low cost using structural topology optimisation’에 따르면 최적화된 형상을 사용함으로써 트러스 교량의 평균 비용이 약 3% 감소한 것으로 나타났다. 고장력강으로 변경, 중공강 단면 사용, 최적화된 형상과 함께 트러스 깊이 증가 등 기타 구조 최적화 방법을 통해 예상 비용 절감 효과가 약 9% 증가했다.

◇ 최적화 알고리즘을 활용한 자동화된 위상 최적화 설계 과정은 설계 시간을 단축하고, 인적 자원의 효율성을 높인다​​.

기술개발 일정 및 추진체계

개발 일정

구성원 및 추진체계

설계

설계사양

설계 사양

개념설계안

◇ 선행 기본 개념

① 최적화

 최적화 과정은 실제값과 예측값 사이의 오차에 대한 함수식인 목적함수를 최적화함으로써, 최적화된 매개변수를 반복 탐색하는 과정이다. 이때, 목적함수는 특히 학습을 통해 함수의 값을 최소화 또는 최대화하려는 목표를 가지는 경우 사용되는 용어이다. 이러한 최적화 과정을 통해 오차를 최소화하는 모델의 매개변수를 획득할 수 있다.
그러나 최적화는 정답을 도출해 주는 과정이 아닌 유사한 혹은 상황에 적절하게 들어맞는 값을 제시해 주는 과정으로 이해해야 한다. 예를 들어 비용함수가 최저가 되는 위치를 찾아 비용을 최저로 만들고자 할 때, 사용되는 함수는 수학적인 함수의 형태가 아니기 때문에 실제로 최저의 값을 찾을 수는 없다. 그러나 최저라고 여겨지는 부분 추출을 할 수 있다. 즉, 완벽한 최저 비용을 찾을 수 없으나 현재 주어진 상황에서 최적의 결론을 도출해 낼 수 있기에 최적화를 사용한다.
 이번 과제를 위해 사용된 프로그램에서는 처짐과 열전도를 매개변수로 갖는다.

② 최적 설계

 최적 설계는 단순히 설계 제약조건을 만족하는 설계안을 제시해 주는 자동설계가 아닌, 경제성과 안전성을 모두 고려한 설계안을 제시하여 설계자가 최적의 설계안을 찾을 수 있도록 도와주는 도구라고 할 수 있다. 이번 프로젝트에서는 위상 최적화(topology optimization)를 목표로 하는데, 위상 최적화는 주어진 설계 영역 내에서 최적의 재료 분포(밀도)를 찾는 것이 목표이다. 
위상 최적화는 1960년대 레이아웃 최적 설계라는 이름으로 시작되었다. 위상 최적화가 나오기 전에는 구조물의 단면계수를 다루는 크기 최적화(sizing optimization)나 외형을 변경시키는 형상 최적화(shape optimization)가 주류였다. 위상 최적 설계는 앞선 두 기법에 비하여 초기 설계가 없이도 적용할 수 있으므로 제품의 개념 설계 단계에서 유용하게 사용할 수 있다.

◇ 교량 선정

 전국에 있는 교량을 대상으로 설계도 및 구조계산서를 구할 수 있고, 교량 길이 200m 이하인 교량 후보를 선정하였다. 교량의 설계조건 파악을 위한 설계 단면도 및 교량 제원 정보는 건설기술정보시스템-중소기업지원정보를 통해 확보하였다.

◇ 프로그램 선정

 위상 최적화를 위해 전통적으로 Sigmund의 99줄 Matlab 코드가 활용되는데, 구조물의 최적화를 위해 사용될 수 있는 코드를 제시하며, 사용자가 다양한 확장 작업을 할 수 있도록 하는 기본적인 형태를 제공해 준다. Sigmund의 코드를 토대로 구체적인 목적을 가진 추가적인 수많은 Matlab 코드가 연구되었는데, 본 프로젝트에서는 IUPUI에서 개발한 IUPUI 3D topology optimization 프로그램을 채택하였다. 
해당 프로그램은 본 프로젝트에서 목표로 하는 트러스교 형상을 결과로 얻을 수 있는 프로그램이다. 트러스 형식의 가설 교량의 경우, 타 교량에 비해 높게 할 수 있어 장경간의 가설 교량에 적용할 때 휨 강성 측면에서 유리하다는 장점이 있다. 또한, 하중이 가해지는 위치와 크기 설정의 과정이 간단하며, 특정 경계 조건에 대한 대칭 설정을 변수로 입력할 수 있다.

이론적 계산 및 시뮬레이션

[교량 설계 적용 하중]

◇ 전천과선교

◇ 교량 설계 시 고려하중

 실제 교량 설계 시 고려하는 설계하중으로 콘크리트 바닥판 하중, 트러스 구조물 강재 하중, 표준트럭 하중, 표준차로 하중, 풍하중, 지진하중을 택하였다.

① 바닥판 고정하중

 교량의 바닥판은 콘크리트로 이루어져 있고, 트러스 구조물은 918X303 H형강 강재로 이루어져 있다. 도로교 설계 기준에 의해 중량을 계산하면 다음과 같다.

- 콘크리트 중량: 7755kN - 918X303 H형강 강재 중량: 3.0106kN/m * L

② 표준트럭 하중

 도로교 설계기준에 따라 KL-510의 하중을 재하한다. 표준트럭 하중은 4개의 차축 하중으로 구성되어 있다.

③ 표준차로 하중

 전천과선교는 경간이 60m이므로 L≤60m w=12.7kN/m, 종방향으로는 아래의 크기로 횡방향으로는 3m의 폭으로 균등하게 분포한다.

④ 풍하중

 교량 풍하중 도로교 설계기준을 적용하였다. 노풍도는 지표면의 특성을 의미하고 A~D등급이 존재, A등급은 빌딩숲, D등급은 광활지 고도이다. 전천과선교의 경우, D등급으로 판단하였다.

⑤ 지진하중

  지진하중을 자중의 40%로 가정하여 계산한다. E = 3553.49kN

[하중 조합 선정]

 도로교 설계기준에 따라 총 5가지의 하중 조합을 선정하였다.

⒜ 1.3D+2.15L (차로 당 2대, 총 8대 재하)

⒝ 1.3D+2.15L (차로당 6대, 총 24대 재하)

⒞ 1.3D+2.15L (차로당 8대, 총 32대 재하)

⒟ 1D+1E

⒠ 1.3D+1.3w

상세설계 내용

[하중 데이터 적용]

◇ IUPUI 3D topology optimization 프로그램을 통해 전천과선교의 재원을 적용하고, 하중을 재하한다.

[프로그램 실행 결과]

◇ IUPUI 3D 프로그램 가운데 표준트럭 하중 재하 시뮬레이션 형상을 표현하였다.

◇ 교량 가장자리에만 트럭을 편재하여 시험했을 때, 예상과는 달리 위상 최적화 결과에 큰 차이가 없었다.

◇ 하중 수치를 IUPUI 프로그램에 입력한 결과, 다섯 가지 경우 모두 가운데가 빈 Warren 트러스교 형태를 띤다. 본 프로젝트에서 실제 설계 문제에서 위상 최적화의 비용 절감 효과에 대한 논문 ‘Design of a Truss Bridge for Low Cost using Structural Topology Optimisation’을 참고하였는데, 설계 도구로써 STO를 활용한 결과 마찬가지로 가운데가 빈 Warren 트러스교 형상이 도출된다.

◇ STO 과정에 의해 생성된 최적화의 범위와 다양성을 고려할 때, 모든 결과에 있어 공통된 특징은 교량의 효율적인 구조를 생성하는 데 중요한 특징이라고 가정할 수 있다. 결과적으로, 경우에 따라 달라지는 특징은 최적을 생성하는 데 상대적으로 중요하지 않다고 가정할 수 있다. 위와 같은 내용의 선행 논문을 참고하여, 보다 보수적 결과물을 위해 트러스교 중앙부 보완을 진행한다. 아래의 형상들 가운데 A3 형상이 본 프로젝트의 목표인 처짐 최소화에 가장 유리한 결과를 나타냈으므로, A3와 같은 형식으로 IUPUI 프로그램을 통해 추출된 형상들을 보완한다.

[Visual FEA 결과]

다음은 Visual FEA를 이용하여 얻은 트러스 구조물의 부재력과 침하 형상 및 침하량이다.

◇ case 1, 4, 5에서는 침하량과 허용 부재력이 안정적이며 사용 가능하다고 판단된다. 그러나 case 2와 3에서는 일부 지점에서 허용 침하량 가운데 보수적 값인 55mm를 초과했고, 일부 부재에서는 허용 부재력 를 초과하였다. 따라서 안전성과 사용성을 충족시키지 못해 안전하지 못한 경우로 판단한다.

[최종 형상 선택]

◇ 안정성과 사용성을 모두 만족하는 경우는 case 1, 4, 5였다. 이 가운데 수직하중이 작용하는 case 1과 수평하중이 가해지는 경우 중 최대 처짐과 최대 부재력이 가해지는 case 5에 하중을 교차로 가해 안정성과 사용성을 재검토하였다. case 1 형상에 풍하중을 재하하는 경우와 case 5 형상에 차로당 트럭 2대씩 재하하는 경우를 비교하여 최종형상을 결정하였다.

결과 및 평가

완료 작품의 소개

프로토타입 사진 혹은 작동 장면

[IUPUI 3D topology optimization 작동]

 case 1에 해당하는 하중을 최종적으로 Matlab을 통한 IUPUI 3D topology optimization 프로그램에 입력한 모습이다. 절점 자유도 경계 조건의 절점 좌표를 매핑하고, 반복 솔버를 사용해 대형 모델의 형상을 빠르게 구현하는 모습이다. 대규모 유한 요소 모델의 경우 반복 솔버의 사용을 통해 기존 직접 솔버보다 약 30배 빠른 구현이 가능하다.

[Visual Fea 추가검토]

 앞선 단계에서 Visual FEA 프로그램을 통해서 수평하중에 대한 지지와 안전거리를 고려한 표준트럭 하중 최대 재하에 대한 안정성, 사용성 검토를 마쳤다. 풍하중과 지진하중에 대한 고려는 완료되었다. 활하중에 대한 추가적 고려와 설계 교량의 추가적 성능을 확인하기 위해서 설계 시 표준트럭 하중의 안전거리를 고려한 경우보다 재하 대수를 늘려 검토한다.
 아래의 표는 510kN의 표준트럭 하중을 차로와 무관하게 1대부터 26대까지 재하하고 그 처짐값을 계산한 과정이다.

 위 표는 재하 대수에 따른 침하량을 나타낸 것이다. 총 24대 재하까지 허용 침하량 범위 내에 포함된다. 안전거리와 설계를 위한 하중 조합 계수의 영향을 고려하면 보수적 설계가 이루어졌고, 위상 최적화를 통한 안전한 교량 설계에 성공하였다.

포스터

완료작품의 평가

 ◇ case 1, 2, 3을 통해 트러스 교량에 대한 하중을 시험했을 때, 차량이 차로당 2대일 때는 안전했지만 6대와 8대가 통과하는 경우, 일부 절점에서 허용치 이상의 처짐이 발생했다. IUPUI 3D topology optimization 프로그램을 통해 하중을 입력하고 형상을 획득하였으나, 획득한 형상으로 Viusal FEA 프로그램에서 안정성과 사용성에 문제가 발생한다. 이에 대한 이유는 차로 당 6대, 8대를 재하하는 경우 트럭들 사이의 간격이 1m도 채 되지 않는 등 매우 가까워 설계 시의 안전거리가 지켜지지 않는다. 특히 차로 당 8대의 트럭이 만차로 통과하는 상황은 현실적으로 불가능한 상황이다. 또한, 설계 시 안정성을 고려하기 위해 설정한 하중 계수가 실제 교량에 재하하는 상황으로 가정할 시에 추가적인 부담을 주는 것으로 판단했다. 

 ◇ 미국 토목공학회(ASCE) 및 기타 전문 기관에서 발행하는 건설 가이드라인과 실제 프로젝트 사례에 따라 분석한 결과, 교량 설계에 소요되는 시간은 교량의 규모, 복잡성, 사용되는 재료, 현장의 지질 조건, 그리고 요구되는 안전성과 기능적 요건 등 다양한 요소에 의해서 좌우된다. 일반적으로 초기 조사 및 계획 단계, 개념 설계 단계, 기본 설계 단계, 상세 설계 단계 이후 각종 검토와 승인 절차를 거쳐 대략 소형 교량의 경우 1-2년 정도 소요되며, 대형 교량이나 복잡한 프로젝트의 경우 3년 이상이 소요된다. 본 프로젝트에서 기본 설계 단계의 초기 설계안 작성과 상세 설계 단계의 구체적 설계안 도출, 구조 해석, 재료 선정의 단계를 수행하였다. 모든 단계를 수행하지 않았으므로 정확하고 정량적인 판단은 어려우나, 전통적 설계 방식에서 많은 시간이 할애되는 설계안 도출과 구조 해석 단계를 대략 2개월의 프로젝트 기간 내에 모두 수행한 것으로, 위상 최적화를 통한 교량 설계 시간 단축이 이루어졌다고 판단한다.

[참고문헌]

1. Sutcliffe, Wayne. “Design of a truss bridge for low cost using structural topology optimisation.” (2016).

2. Sigmund, O. A 99 line topology optimization code written in Matlab. Struct Multidisc Optim 21, 120–127 (2001).

3. Liu, K., Tovar, A. An efficient 3D topology optimization code written in Matlab. Struct Multidisc Optim 50, 1175–1196 (2014).

4. Bojczuk, Dariusz & Rębosz, Anna. (2012). Topology optimisation of trusses using bars exchange method. Bulletin of the Polish Academy of Sciences, Technical Sciences. 10.2478/v10175-012-0025-6.

5. 곽임종, 나원기, 조창백, 이주형, 김재현, 김성욱. (2018). 한국건설기술연구원, 60m급 장경간 경량 급속가설교량 개발 기획연구. 국립중앙도서관.

6. 이상진, 박경임. (2013). 구조물의 위상최적화를 위한 매트랩 코드. 대한건축학회논문집 구조계, v.29(n.10), 11-18.

7. 이종우, 이재영, 조성식, 유삼현, 최현호, 윤우섭, 김태양. (2011). 유한요소해석을 통한 장간조립교 주요 부재의 안정성 분석 연구. 한국군사과학기술학회지, 14(3), 335-344.